什么是抽样平均误差？-白红宇

什么是抽样平均误差？

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发布时间：2019-05-24

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什么是抽样平均误差？

抽样平均误差是抽样平均数（或抽样成数）的标准差，它反映抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。

由于从一个总体可能抽取多个样本，因此抽样指标（如平均数、抽样成数等），就有多个不同的数值，因而对全局指标（如总体平均数、总体成数等）的离差也就有大有小，这就必需用一个指标来衡量抽样误差的一般水平。

抽样平均数（或抽样成数）的标准差实际上反映了抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。

样本平均数的平均误差

以 $\mu _{x}$ 表示样本平均数的平均误差， $\sigma$ 表示总体的标准差。根据定义：

　　 $\mu_x^2=E(\bar{x}-\bar{X})^2$

当抽样方式为重复抽样时，样本标志值 $x_1,x_2,\cdots x_n$ 是相互独立的，样本变量x与总体变量X同分布。所以得：

　　 $\mu_x^2=\frac{\sigma^2}{n}$ 　　　　（1）

　　它说明在重复抽样的条件下，抽样平均误差与总体标准差成正比，与样本容量的平方根成反比。

例1: 有5个工人的日产量分别为（单位：件）：6，8，10，12，14，用重复抽样的方法，从中随机抽取2个工人的日产量，用以代表这5个工人的总体水平。则抽样平均误差为多少？

解：根据题意可得： $\bar{X}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=10$ (件)

总体标准差 $\sigma=\frac{\sqrt{\sum(X-\bar{X})_2}}{\sqrt{N}}=\frac{\sqrt{40}}{sqrt{5}}=\sqrt{8}$ (件)

抽样平均误差 $\mu_x=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=2$ (件)

当抽样方式为不重复抽样时，样本标志值 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 不是相互独立的，根据数理统计知识可知：

　　 $\mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}$ 　　　　（2）

　　当总体单位数N很大时，这个公式可近似表示为：

　　 $\mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(1-\frac{n}{N})}$ 　　　　（3）

　　与重复抽样相比，不重复抽样平均误差是在重复抽样平均误差的基础上，再乘以 $\sqrt{(N-n)/(N-1)}$ ，而 $\sqrt{(N-n)/(N-1)}$ 总是小于1，所以不重复抽样的平均误差也总是小于重复抽样的平均误差。如前例，若改用不重复抽样方法，则抽样平均误差为：

　　 $\mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}=\sqrt{\frac{8}{2}(\frac{5-2}{5-1})}=1.732$ (件)

　　在计算抽样平均误差时，通常得不到总体标准差的数值，一般可以用样本标准差来代替总体标准差。

抽样成数的平均误差

总体成数P可以表现为总体是非标志的平均数。即E(X)＝P，它的标准差 $\sigma=\sqrt{P(1-P)}$ 。

根据样本平均误差和总体标准差的关系，可以得到样本成数的平均误差的计算公式。

1、在重复抽样下

　　 $\mu_p=\sigma/\sqrt{n}=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}$ 　　　　（4）

2、在不重复抽样下

　　 $\mu_p=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(\frac{N-n}{N-1})}$ 　　　　（5）

　　当总体单位数N很大时，可近似地写成：

　　 $\mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(1-\frac{n}{N})}$ 　　　　（6）

　　当总体成数未知时，可以用样本成数来代替。

例2：某企业生产的产品，按正常生产经验，合格率为90%，现从5000件产品中抽取50件进行检验，求合格率的抽样平均误差。

解：根据题意，在重复抽样条件下，合格率的抽样平均误差为：

　　 $\mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}=\sqrt{\frac{0.9\times 0.1}{50}}$

　　在不重复抽样条件下，合格率的抽样平均误差为：

　　 $\mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(1-\frac{n}{N})}=\sqrt{\frac{0.9\times 0.1}{50}(1-\frac{50}{5000})}=4.22%$

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